Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，若$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 令-1＜cos＜$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞＜0解出．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1．（$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k$\overrightarrow$²=4k-1．
（$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{a}$²+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k²$\overrightarrow$²=4k²-2k+1．∴|$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$|=$\sqrt{4{k}^{2}-2k+1}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞=$\frac{4k-1}{2\sqrt{4{k}^{2}-2k+1}}$，
∵$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，∴-1＜$\frac{4k-1}{2\sqrt{4{k}^{2}-2k+1}}$＜0．
解得k＜$\frac{1}{4}$．
故答案為（-∞，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與應(yīng)用，求出夾角的余弦是關(guān)鍵．