Question

已知函數(shù), ,,、.
(Ⅰ)若，判斷的奇偶性；
(Ⅱ) 若，是偶函數(shù)，求;
（Ⅲ）是否存在、，使得是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)？若存在，試確定與的關(guān)系式；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）是非奇非偶函數(shù).（Ⅱ）；（Ⅲ）存在、滿足時，是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).

試題分析：(Ⅰ) 方法一（定義法）：

.             2分
所以是非奇非偶函數(shù).           3分
方法二（特殊值法）：由知不是奇函數(shù).     1分
又由，知不是偶函數(shù).     2分
所以是非奇非偶函數(shù).    3分
(Ⅱ) 方法一（定義法）：，
偶函數(shù)，， 
 ，     5分
 ， .             6分                                
方法二（特殊值法）：為偶函數(shù)
所以
所以   5分
 ，，經(jīng)驗證滿足題意.    6分
（Ⅲ）方法一:假設(shè)存在、，使得是奇函數(shù).
由得，，所以.
由知，.
又，故或，
即或.  8分
當(dāng)時，=+
=+=-=0，
此時既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).不合題意，舍去.    9分
當(dāng)時，=+
=+=-=
此時是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).
綜上，存在、滿足時，是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).    10分
方法二:假設(shè)存在、，使得是奇函數(shù).
由得，
化簡整理得，,從而.下同方法一.
點評：(1)此題主要考查三角函數(shù)的奇偶性。判斷一個函數(shù)奇偶性的步驟：一求函數(shù)的定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱；二判斷。有時，若的關(guān)系不好判斷時，可以根據(jù)定義域進行化簡。(2) 若函數(shù)為偶函數(shù)，則；若函數(shù)為奇函數(shù)，則。