4.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$(t為參數(shù),α為直線l的傾斜角),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$),
(I)求證:直線1過定點,并求其定點M坐標(biāo);
(Ⅱ)直線l與圓C的兩個交點為A,B.當(dāng)|AB|最小時,求α的值.

分析 (I)求出直線l的普通方程,化成點斜式方程即可得出結(jié)論;
(II)求出圓C的普通方程,判斷M在圓內(nèi)部,故當(dāng)AB與CM垂直時,|AB|最小,利用直線垂直得出直線l的斜率,從而求出α的值.

解答 解:(I)∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),
∴直線l的普通方程為$\frac{x-1}{cosα}=\frac{y-\sqrt{3}}{sinα}$,即y-$\sqrt{3}$=tanα(x-1).
∴直線l過定點M(1,$\sqrt{3}$).
(II)∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$)=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ,∴ρ2=2ρsinθ+2$\sqrt{3}$ρcosθ,
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為:x2+y2=2y+2$\sqrt{3}$x,即(x-$\sqrt{3}$)2+(y-1)2=4.
∴圓C的圓心為C($\sqrt{3}$,1).
∵CM=$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$<2,∴點M在圓C內(nèi)部.
∴當(dāng)直線l與CM垂直時,弦長|AB|最小,
此時tanα•kCM=-1,
∵kCM=$\frac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}}$=-1,∴tanα=1,
∴α=$\frac{π}{4}$.

點評 本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

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