Question

19．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，D是BC的中點，E是線段AB上的點，且AE=2BE．求證：AD⊥CE．

Answer 1

分析 過B作BC的垂線交CE的延長線于點F，從而可推出AC∥BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對應(yīng)角相等從而可判定△ACE∽△BFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例可得到AC=2BF，進而得到CD=BF，再利用HL判定△ACD≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)得其對應(yīng)角相等，再根據(jù)等角的性質(zhì)不難證得結(jié)論．

解答 證明：過B作BC的垂線交CE的延長線于點F，（1分）
∴∠FBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FBC=∠ACB=90°．
∴AC∥BF，
∴∠ACE=∠EFB，∠CAE=∠EBF
∴△ACE∽△BFE．（3分）
∴$\frac{AC}{BF}=\frac{AE}{EB}$=2．
∴AC=2BF．（4分）
∵D是BC的中點，∴BC=2CD，
∵AC=BC，
∴CD=BF．（5分）
在△ACD和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACB=∠CBF=90°}\\{CD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF．（6分）
∴∠1=∠2．
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°．
∴∠4=90°．
∴CE⊥AD．（7分）

點評 此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定及性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合運用．