Question

13．如圖：已知PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，若PB=4，PD=3，AD=5，則DC=$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BP到E，使PE=PB=4，連結(jié)AE，如圖，則PE=PA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可判斷∠APB=2∠E，由于∠APB=2∠ACB，則∠E=∠C，于是可證明△ADE∽△BDC，然后利用相似比可計(jì)算出AD•CD的值，即可求出CD．

解答 解：延長(zhǎng)BP到E使PE=PB=4，連結(jié)AE，如圖，
∵PA=PB，
∴PE=PA，
∴∠1=∠E，
而∠APB=∠1+∠E，
∴∠APB=2∠E，
∵∠APB=2∠ACB，
∴∠E=∠C，
而∠ADE=∠CDB，
∴△ADE∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{ED}{CD}$，
∴AD•CD=BE•ED=（4+3）•（4-3）=7，
∵AD=5，
∴CD=$\frac{7}{5}$．
故答案為：$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ADE與△BDC相似．