Question

14．已知f（x）=（4-m）x²-4x+1，a為正整數(shù)，滿足f（a）＜0的a的個數(shù)有且僅有兩個，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． 2＜m≤3
• B． $\frac{9}{4}＜m≤\frac{25}{9}$
• C． m$＞\frac{25}{9}$
• D． m$≤\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以先得到0＜m＜4，從而解方程f（x）=0可得到$x=\frac{1}{2±\sqrt{m}}$，從而f（x）＜0的解為$（\frac{1}{2+\sqrt{m}}，\frac{1}{2-\sqrt{m}}）$，容易得出$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2+\sqrt{m}}＜\frac{1}{2}$，這樣根據(jù)條件a為正整數(shù)，滿足f（a）＜0的a的個數(shù)有且僅有兩個，從而得出$2＜\frac{1}{2-\sqrt{m}}≤3$，這樣解該不等式便可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：若m=4，則f（x）=-4x+1，則滿足f（a）＜0的a有無數(shù)個，不滿足條件，即m≠4，依題意m＜4；
根據(jù)題意，方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根；
∴△=16-4（4-m）=4m＞0；
即0＜m＜4；
解（4-m）x²-4x+1=0得，$x=\frac{1}{2±\sqrt{m}}$；
∴f（x）＜0的解為$（\frac{1}{2+\sqrt{m}}，\frac{1}{2-\sqrt{m}}）$；
∵0＜m＜4；
∴$2＜2+\sqrt{m}＜4$；
∴$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2+\sqrt{m}}＜\frac{1}{2}$；
∵滿足f（a）＜0的a的個數(shù)有且僅有兩個，且a為正整數(shù)；
∴$2＜\frac{1}{2-\sqrt{m}}≤3$；
解得$\frac{9}{4}＜m≤\frac{25}{9}$．
故選B．

點(diǎn)評 考查二次函數(shù)的圖象，以及一元二次方程的實數(shù)根的個數(shù)和判別式△取值的關(guān)系，一元二次方程的求根公式，以及不等式的性質(zhì)，分式不等式的解法．