Question

12．F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，該曲線的離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由向量垂直的條件和雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由等積法可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+||F₁F₂|）r，求得r，再由直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，可得外接圓的半徑R=c，再由離心率公式，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2a，①
|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，②
②-①²，可得2|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²，
即有（|PF₁|+|PF₂|）²=8c²-4a²，
即為|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}$，
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由等積法可得
$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+||F₁F₂|）r，
可得r=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{c+\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}}$，
由直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，
可得外接圓的半徑為R=c，
由題意△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
可得$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{c}^{2}+\sqrt{2{c}^{4}-{a}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$可得$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+\sqrt{2{e}^{4}-{e}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
化為e⁴-（5+2$\sqrt{3}$）e²+4+2$\sqrt{3}$=0，
解得e²=4+2$\sqrt{3}$或1（舍去），
即有e=1+$\sqrt{3}$．
故答案為：1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，同時(shí)考查等積法求三角形的內(nèi)切圓的半徑，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．