Question

2．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n及數(shù)列{3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值；
（3）設(shè)b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，對(duì)任意n∈N₊都有b_n+1＞b_n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于對(duì)任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a(chǎn)_n＞0（n∈N^*）．分別令n=1，2，解出即可得出．
（2）對(duì)任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a(chǎn)_n＞0（n∈N^*）．利用遞推關(guān)系化為：${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1+2，又${a}_{n+1}^{2}$=S_n+1+S_n+2，再一次利用遞推關(guān)系可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，化為a_n+1-a_n=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=n+1.3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n=3ⁿ⁺¹-26（n+1）．可知：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＜0．n≥4時(shí)，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＞0．即可得出數(shù)列{3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值為T₃．
（3）由b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，對(duì)任意n∈N₊都有b_n+1＞b_n恒成立，可得3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•t$•{2}^{{a}_{n+1}}$＞3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，化為：2×3ⁿ＞（-1）^n-1•t•2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•t•2ⁿ⁺²．對(duì)n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵對(duì)任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a(chǎn)_n＞0（n∈N^*）．
分別令n=1，2，可得：${a}_{1}^{3}$=${S}_{1}^{2}$+2S₁=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，a³₁+a³₂=${S}_{2}^{2}+2{S}_{2}$=$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$+2（a₁+a₂）．
聯(lián)立解得a₁=2，a₂=3．
（2）對(duì)任意n∈N₊都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n+2S_n．a(chǎn)_n＞0（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時(shí)，a³₁+a³₂+a³₃+…+${a}_{n-1}^{3}$=${S}_{n-1}^{2}$+2S_n-1．
∴${a}_{n}^{3}$=S²_n+2S_n-${S}_{n-1}^{2}$-2S_n-1．
化為：${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1+2，
又${a}_{n+1}^{2}$=S_n+1+S_n+2，
∴${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，
化為a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n=3ⁿ⁺¹-26（n+1）．
當(dāng)n=1時(shí)，${3}^{{a}_{1}}-26{a}_{1}$=9-26×2＜0，
同理可得：n=2，3時(shí)，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＜0．
n≥4時(shí)，3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n＞0．
∴數(shù)列{3${\;}^{{a}_{n}}$-26a_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值為T₃=3²+3³+3⁴-26×（2+3+4）=-117．
（3）∵b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，對(duì)任意n∈N₊都有b_n+1＞b_n恒成立，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•t$•{2}^{{a}_{n+1}}$＞3ⁿ+（-1）^n-1•t•2${\;}^{{a}_{n}}$，
化為：2×3ⁿ＞（-1）^n-1•t•2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•t•2ⁿ⁺²．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，化為：2×3ⁿ＞-t•2ⁿ⁺¹-t•2ⁿ⁺²，t＞$-\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}）^{n}$的最大值，∴t＞$-\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}）^{2}$=-$\frac{3}{4}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，化為：2×3ⁿ＞t•2ⁿ⁺¹+t•2ⁿ⁺²，化為t＜$\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}）^{n}$的最小值，∴t＜$\frac{1}{2}$．
綜上可得：實(shí)數(shù)t的取值范圍是$（-\frac{3}{4}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．