Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（1）若雙曲線(xiàn)D與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，求雙曲線(xiàn)D的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的點(diǎn)．
①若直線(xiàn)OM的斜率為$\sqrt{3}$，且OM⊥ON，求△MON的面積；
②設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$$+\sqrt{3}\overrightarrow{ON}$，直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，求證：動(dòng)點(diǎn)P在定曲線(xiàn)上．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線(xiàn)D與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，設(shè)雙曲線(xiàn)D的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），并能求出a，b，從而能求出雙曲線(xiàn)D的方程．
（2）①設(shè)直線(xiàn)OM為：y=$\sqrt{3}x$，則直線(xiàn)ON為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，分別與橢圓聯(lián)立，得到|OM|=3，|ON|=$\sqrt{6}$，由此能求出△MON的面積．
②設(shè)P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}={x}_{1}+\sqrt{3}{x}_{2}}\\{{y}_{P}={y}_{1}+\sqrt{3}{y}_{2}}\end{array}\right.$，由直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，得x₁x₂+3y₁y₂=0，由此能證明動(dòng)點(diǎn)P在定曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$上．

解答 解：（1）∵橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
雙曲線(xiàn)D與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，
∴設(shè)雙曲線(xiàn)D的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{6}}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線(xiàn)D的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）①∵M(jìn)，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線(xiàn)OM的斜率為$\sqrt{3}$，且OM⊥ON，
∴設(shè)直線(xiàn)OM為：y=$\sqrt{3}x$，則直線(xiàn)ON為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{9}{10}$，y²=$\frac{81}{10}$，|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{10}+\frac{81}{10}}$=3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{9}{2}$，y²=$\frac{3}{2}$，|ON|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴△MON的面積S=$\frac{1}{2}×|OM|×|ON|$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
證明：②設(shè)P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$$+\sqrt{3}\overrightarrow{ON}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}={x}_{1}+\sqrt{3}{x}_{2}}\\{{y}_{P}={y}_{1}+\sqrt{3}{y}_{2}}\end{array}\right.$，①
由直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，
得：$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，即x₁x₂+3y₁y₂=0，②
由①②可得：x_P²+3y_P²=（x₁²+3y₁²）+（x₂²+3y₂²）
∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn)，∴x₁²+3y₁²=9，x₂²+3y₂²=9，
∴x_P²+3y_P²=18，即$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{18}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{6}$=1．
∴動(dòng)點(diǎn)P在定曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查三角形面積的求法，考查動(dòng)點(diǎn)在定曲線(xiàn)上的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、雙曲線(xiàn)性質(zhì)的合理運(yùn)用．