Question

13．直線y=kx+4與圓x²+y²+2kx-2y-2=0交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+y=0對稱，則|MN|等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由題意，得直線x+y=0是線段MN的中垂線，利用垂直直線的經(jīng)過圓的圓心坐標(biāo)，即可求出k，利用圓心到直線的距離，半徑半弦長，即可求出本題答案．

解答 解：由題意，可得
∵直線y=kx+4與圓x²+y²+2kx-2y-2=0交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+y=0對稱，
∴直線x+y=0是線段MN的中垂線，得k•（-1）=-1，解之得k=1，
所以圓方程為x²+y²+2x-2y-2=0，圓心坐標(biāo)為（-1，1），半徑為2．
圓的圓心到直線y=x+4的距離為：$\frac{|-1-1+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-{（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出直線與圓相交，且兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于已知直線對稱，求參數(shù)k的值．著重考查了直線的斜率、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．