Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，且|F₁F₂|=2，若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)平行于F₁M的直線l（不過(guò)橢圓的上下兩個(gè)頂點(diǎn)）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A和B，直線MA和MB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁+k₂=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得2c=2，b=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（II）F₁（-1，0），${k}_{M{F}_{1}}$=1．可設(shè)直線l的方程為：y=x+m（m≠±1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與題意方程聯(lián)立化為3x²+4mx+2m²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量計(jì)算公式可得k₁+k₂=$\frac{2}{m+1}$=4，解出即可．

解答 解：（I）∵|F₁F₂|=2，橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1）．
∴2c=2，b=1，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（II）F₁（-1，0），${k}_{M{F}_{1}}$=1．可設(shè)直線l的方程為：y=x+m（m≠±1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為3x²+4mx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-1）{x}_{2}+（{y}_{2}-1）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}+m-1）{x}_{2}+（{x}_{2}+m-1）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+（m-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2+$\frac{（m-1）×（-\frac{4m}{3}）}{\frac{2{m}^{2}-2}{3}}$
=2+$\frac{-4{m}^{2}+4m}{2{m}^{2}-2}$=$\frac{2}{m+1}$=4，
解得m=-$\frac{1}{2}$．滿足△=16m²-4×3×（2m²-2）=22＞0，
∴直線l的方程為：2x-2y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．