Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1化簡求解即可．
（2）化簡所求通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求解即可．

解答 解：（1）由 ${S_{n+1}}={n^2}+{a_{n+1}}$，-------------------------------①
則 ${S_n}={（{n-1}）^2}+{a_n}（{n≥2}）$-------------②
①-②得：${S_{n+1}}-{S_n}={n^2}-{（{n-1}）^2}+{a_{n+1}}-{a_n}$，即${a_{n+1}}={n^2}-{（{n-1}）^2}+{a_{n+1}}-{a_n}$，
得a_n=2n-1（n≥2），
又a₁=1也適合上式，∴a_n=2n-1．  …（6分）
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．                                …（12分）
說明：由${S_{n+1}}={n^2}+{a_{n+1}}$可得${S_n}+{a_{n+1}}={n^2}+{a_{n+1}}$，即${S_n}={n^2}$，亦可求得a_n=2n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列求和，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．