Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在棱AB上．
（Ⅰ）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）當$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$時，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連接DE．證明 DE∥AC₁．利用直線與平面平行的判定定理證明 AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅱ）以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．求出相關(guān)點的坐標，平面BCD的法向量，平面B₁ CD的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角的余弦函數(shù)值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） 證明：連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連接DE．
因為 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
所以 側(cè)面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，所以 DE∥AC₁．
因為 DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，所以 AC₁∥平面B₁CD．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．

則B （3，0，0），A （0，4，0），A₁ （0，4，4），B₁ （3，0，4）．設(shè)D （a，b，0）（a＞0，b＞0），因為 點D在線段AB上，且$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$．

所以a=2，$b=\frac{4}{3}$，$\overrightarrow{BD}\;=（-1，\frac{4}{3}，0）$，$\overrightarrow{C{B_1}}=（3，0，4）$，$\overrightarrow{CD}=（2，\frac{4}{3}，0）$．
平面BCD的法向量為$\overrightarrow{{n_{\;1}}}=（0，0，1）$．設(shè)平面B₁ CD的法向量為$\overrightarrow{{n_{\;2}}}=（x，y，1）$，
由$\overrightarrow{C{B_1}}•\overrightarrow{{n_{\;2}}}=0$，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n_{\;2}}}=0$，得 $\left\{\begin{array}{l}3x+4=0\\ 2x+\frac{4}{3}y=0\end{array}\right.$，
所以 $x=-\frac{4}{3}$，y=2，$\overrightarrow{{n_{\;2}}}=（-\frac{4}{3}，2，1）$．所以  $cosθ=\frac{{\overrightarrow{{n_{\;1}}}•\overrightarrow{{n_{\;2}}}}}{{|{\overrightarrow{{n_{\;1}}}}||{\overrightarrow{{n_{\;2}}}}|}}=\frac{3}{{\sqrt{61}}}$．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值為$\frac{{3\sqrt{61}}}{61}$．…（12分）

點評 本題考查空間向量求解二面角的余弦函數(shù)值，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．