Question

3．cos$\frac{2}{7}$π+cos$\frac{4}{7}$π+cos$\frac{6}{7}$π=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由二倍角的正余弦公式和和差化積公式以及積化和差公式化簡可得．

解答 解：由和差化積公式和二倍角的余弦公式可得cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$
=2cos$\frac{\frac{2π}{7}+\frac{4π}{7}}{2}$cos$\frac{\frac{2π}{7}-\frac{4π}{7}}{2}$+2cos²$\frac{3π}{7}$-1
=2cos$\frac{3π}{7}$cos$\frac{π}{7}$+2cos²$\frac{3π}{7}$-1
=2（cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{3π}{7}$）cos$\frac{3π}{7}$-1，
再由和差化積公式可得2（cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{3π}{7}$）cos$\frac{3π}{7}$-1
=4cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$-1
=$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$•4sin$\frac{π}{7}$cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$-1
=$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$•2sin$\frac{2π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$-1
=$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$•sin$\frac{4π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$-1，
再由積化和差公式可得$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$•sin$\frac{4π}{7}$cos$\frac{3π}{7}$-1
=$\frac{\frac{1}{2}[sin（\frac{4π}{7}+\frac{3π}{7}）+sin（\frac{4π}{7}-\frac{3π}{7}）]}{sin\frac{π}{7}}$-1
=$\frac{\frac{1}{2}（sinπ+sin\frac{π}{7}）}{sin\frac{π}{7}}$-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$
故答案為：-$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查積化和差公式和和差化積公式，涉及二倍角的正余弦公式，屬中檔題．