Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，C、F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D．連接CF交AB于點E．
（1）求證：DE²=DB•DA；    
（2）若DB=2，DF=4，試求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OF，利用切線的性質及角之間的互余關系得到DF=DE，再結合切割線定理證明DE²=DB•DA，即可求出DE．
（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的長．

解答 （1）證明：連接OF．
因為DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因為OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因為CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因為DF是⊙O的切線，所以DF²=DB•DA．
所以DE²=DB•DA．
（2）解：∵DF²=DB•DA，DB=2，DF=4．
∴DA=8，從而AB=6，則OC=3．
又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．
從而 在Rt△COE中，$CE=\sqrt{C{O^2}+O{E^2}}=\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查了與圓有關的比例線段、圓的切線的性質定理的應用，屬于中檔題．