Question

13．已知0＜x＜1，函數f（x）=（1+x²）（2-x），
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若a、b、c為正，且滿足a+b+c=1，求證$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+^{2}}$+$\frac{1}{1+{c}^{2}}$≤$\frac{27}{10}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）=（1+x²）（2-x）=-x³+2x²-x+2，0＜x＜1，可得f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），利用導數研究函數的單調性極值即可得出．
（2）由（1）可得：0＜x＜1，（1+x²）（2-x）≥$\frac{50}{27}$，$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤$\frac{27（2-x）}{50}$．利用a、b、c為正，且滿足a+b+c=1，代入即可得出．

解答 （1）解：f（x）=（1+x²）（2-x）=-x³+2x²-x+2，0＜x＜1，
f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），
當$0＜x＜\frac{1}{3}$時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；當$\frac{1}{3}＜x＜1$時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．
∴當x=$\frac{1}{3}$時，函數f（x）取得極小值即最小值，$f（\frac{1}{3}）$=$（1+\frac{1}{9}）$×$（2-\frac{1}{3}）$=$\frac{50}{27}$．
（2）證明：由（1）可得：0＜x＜1，（1+x²）（2-x）≥$\frac{50}{27}$，∴$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤$\frac{27（2-x）}{50}$．
∵a、b、c為正，且滿足a+b+c=1，
∴$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+^{2}}$+$\frac{1}{1+{c}^{2}}$≤$\frac{27[6-（a+b+c）]}{50}$=$\frac{27}{10}$．當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時取等號．
∴$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+^{2}}$+$\frac{1}{1+{c}^{2}}$≤$\frac{27}{10}$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值并且證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．