【題目】已知函數(shù)f(x)=loga (a>0,a≠1).
(1)當(dāng)a>1時,討論f(x)的奇偶性,并證明函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞減;
(2)當(dāng)x∈(n,a﹣2)時,是否存在實數(shù)a和n,使得函數(shù)f(x)的值域為(1,+∞),若存在,求出實數(shù)a與n的值,若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:f(x)的定義域為{x|x<﹣1或x>1},關(guān)于原點對稱,

又f(﹣x)= ,∴f(x)為奇函數(shù),

證明:當(dāng)a>1時,設(shè)1<x1<x2,則

f(x1)﹣f(x2)= = ,

=

>1,又a>1,∴l(xiāng)oga >0,則f(x1)>f(x2),

∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)


(2)解:令 = ,x∈(n,a﹣2),

①當(dāng)a>1時,要使f(x)的值域為(1,+∞),則須t∈(a,+∞),

,解得 .∴x∈(1, ).

故有 ,解得 ;

②當(dāng)0<a<1時,t∈(0,a),則x∈( ),∴ ,(不合題意).

綜上所述,存在實數(shù)n=1,a= ,當(dāng)x∈(n,a﹣2)時,函數(shù)f(x)的值域為(1,+∞)


【解析】(1)直接利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義判斷;(2)令 = ,x∈(n,a﹣2),當(dāng)a>1時,要使f(x)的值域為(1,+∞),則須t∈(a,+∞),令 ,解得 .可得x∈(1, ).則 ,解得 ;當(dāng)0<a<1時,t∈(0,a),則x∈( ),得 ,(不合題意).由此可得存在實數(shù)n=1,a= ,當(dāng)x∈(n,a﹣2)時,函數(shù)f(x)的值域為(1,+∞).
【考點精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本,需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊系列答案
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(1)當(dāng)∠BAC=45°時,求觀光道BC段的長度;
(2)為提高觀光效果,應(yīng)盡量增加觀光道路總長度,試確定圖中A、B兩點的位置,使觀光道路總長度達到最長?并求出總長度的最大值.

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日期

1月11號

1月12號

1月13號

1月14號

1月15號

平均氣溫

9

10

12

11

8

銷量(杯)

23

25

30

26

21

(1)若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組,求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;

(2)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程式;

(3)根據(jù)(2)所得的線性回歸方程,若天氣預(yù)報1月16號的白天平均氣溫為,請預(yù)測該奶茶店這種飲料的銷量.

(參考公式:,

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2)求的單調(diào)區(qū)間;

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