【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線l的方程．

【答案】
（1）解：由m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0知直線l恒過定點(diǎn)，

又 ，

∴直線l恒過定點(diǎn)A（3，1），

且（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25A（3，1）必在圓內(nèi)，

故直線l與圓恒有兩交點(diǎn)


（2）解：∵圓心為C（1，2），定點(diǎn)為A（3，1）

∴

由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)直線l與AC垂直時(shí)所截線段最短，此時(shí)kl=2

∴l(xiāng)方程為：y﹣1=2（x﹣3）2x﹣y﹣5=0，此時(shí)

∴最短弦長(zhǎng)=


【解析】（1）把直線l的方程變形后，根據(jù)直線l恒過定點(diǎn)，得到關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離d，發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑，得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)直線l與AC垂直時(shí)，所截取的線段最短，由圓心C和定點(diǎn)A的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1，求出直線l的斜率，由A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線l的方程，再由A與C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|即為弦心距，根據(jù)圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此時(shí)的弦長(zhǎng)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC， ，

E，F分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：C1F∥平面ABE；

(Ⅱ)求三棱錐E-ABC的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，求不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=cos2x﹣sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間 上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若對(duì)任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.[3，+∞）
D.（0，3]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①若2b=a+c，則a，b，c成等差數(shù)列；
②“a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件是“b2=ac”；
③若數(shù)列{an2}是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}也是等比數(shù)列；
④若| |=| |，則 = ．
A.3
B.2
C.1
D.0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是關(guān)于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個(gè)解，求t的值；
（2）當(dāng)0＜a＜1且t=﹣1時(shí)，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函數(shù)F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在區(qū)間（﹣1，2]上有零點(diǎn)，求t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形， ，平面 平面， 平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接.

(1) 求證： ∥平面；

(2)若，求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn+an=2． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=a1 ， bn= ，n≥2 求證{ }為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)cn= ，求數(shù)列{cn}的前n和Tn ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案