【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F(xiàn),G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAB∥平面EFG;
(2)證明:平面EFG⊥平面PAD;
(3)在線段PB上確定一點(diǎn)Q,使PC⊥平面ADQ,并給出證明.

【答案】
(1)證明:E,F(xiàn)分別是線段PC,PD的中點(diǎn),所以EF∥CD,

又ABCD為正方形,AB∥CD,

所以EF∥AB,

又EF平面PAB,所以EF∥平面PAB.

因?yàn)镋,G分別是線段PC,BC的中點(diǎn),所以EG∥PB,

又EG平面PAB,所以,EG∥平面PAB.

所以平面EFG∥平面PAB


(2)證明:因?yàn)镃D⊥AD,CD⊥PD,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD,

又EF∥CD,所以EF⊥平面PAD,所以平面EFG⊥平面PAD


(3)證明:Q為線段PB中點(diǎn)時(shí),PC⊥平面ADQ.

取PB中點(diǎn)Q,連接DE,EQ,AQ,

由于EQ∥BC∥AD,所以ADEQ為平面四邊形,

由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,

又AD⊥CD,PD∩CD=D,所以AD⊥平面PDC,

所以AD⊥PC,

又三角形PDC為等腰直角三角形,E為斜邊中點(diǎn),所以DE⊥PC,

AD∩DE=D,所以PC⊥平面ADQ.


【解析】(1)運(yùn)用面面平行的判定定理,先證線面平行,即可得到證明;(2)由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理,即可得證;(3)Q為線段PB中點(diǎn)時(shí),PC⊥平面ADQ.運(yùn)用線面垂直的判定定理即可得到結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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