Question

已知x∈R，a∈R且a≠0，向量

OA

=（acos²x，1），

OB

=（2，

3

asin2x-a），f（x）=

OA

•

OB

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求當a＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為5，求a的值．
（Ⅲ）當a=1時，若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）化簡f（x）=2asin（2x+

π

6

），求單調區(qū)間；（Ⅱ）討論a的正負，確定最大值，求a；（Ⅲ）化簡不等式，轉化恒成立問題為函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

OA

•

OB

=2acos²x+

3

asin2x-a
=2asin（2x+

π

6

），
∵a＞0，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）f（x）=2asin（2x+

π

6

），
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]；
若a＞0，2a=5，則a=

5

2

；
若a＜0，-a=5，則a=-5；
綜上所述，a=-5或a=

5

2

．
（Ⅲ）∵|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[0，

π

2

]上恒成立，
∴f（x）_max-2＜m＜f（x）_min+2，x∈[0，

π

2

]
∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）在[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-1．
∴0＜m＜1．
即實數(shù)m的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了平面向量的應用，三角函數(shù)的單調性與最值，三角函數(shù)的化簡，恒成立問題的處理及分類討論的數(shù)學思想，綜合性很強，屬于難題．