Question

10．已知數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}為遞增等比數(shù)列，${a}_{5}^{2}$=a₁₀，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，且b₁=a₃，b₃=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞增等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；從而求出b₁=a₃=8，b₃=a₄=16，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，由此能求出{b_n}的通項公式．
（2）由c_n=a_n•b_n=（4n+4）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺²，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為遞增等比數(shù)列，${a}_{5}^{2}$=a₁₀，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，
∴（a₁q⁴）²=a₁q⁹，2（1+q²）=5q，
∵等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
∴q=2，a₁=2
∴a_n=2ⁿ．
∵數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，b₁=a₃=8，b₃=a₄=16，
∴b₃=8+2d=16，解得d=4，
∴b_n=8+（n-1）×4=4n+4．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（4n+4）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺²，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和：
S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①
$2{S}_{n}=2•{2}^{4}+3•{2}^{5}+4•{2}^{6}+…+（n+1）•{2}^{n+3}$，②
①-②，得：-S_n=16+2⁴+2⁵+2⁶+…+2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³
=16+$\frac{16（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺³
=-n•2ⁿ⁺³．
∴S_n=n•2ⁿ⁺³．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．