Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），n∈N^*，b_n=3ⁿ+（-1）^n-1a_n，則數(shù)列{b_n}的前2n+1項和為（　　）

• A． $\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$+n
• B． $\frac{1}{2}$•3²ⁿ⁺²+n+$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$-n
• D． $\frac{1}{2}$•3²ⁿ⁺²-n+$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，求得a_n=n，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求值．

解答 解：前n項和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），可得n=1時，a₁=S₁=1，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n+1）-$\frac{1}{2}$（n-1）n=n，
即有a_n=n，n∈N^*，b_n=3ⁿ+（-1）^n-1a_n=3ⁿ+（-1）^n-1•n，
則數(shù)列{b_n}的前2n+1項和為（3+9+…+3²ⁿ⁺¹）+[1-2+3-4+5-6+…+（2n+1）]
=$\frac{3（1-{3}^{2n+1}）}{1-3}$+（-n）+（2n+1）=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$+n．
故選A．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．