Question

20．函數(shù)$f（x）=\frac{{2{{cos}^3}x+2{{sin}^2}（2π-x）+sin（\frac{π}{2}+x）-3}}{{2+2{{sin}^2}（\frac{π}{2}+x）-sin（\frac{3π}{2}-x）}}$，則$f（\frac{π}{3}）$=-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式先求出f（x）=$\frac{（2co{s}^{2}α+1）（cosα-1）}{2+co{s}^{2}α+cosα}$，再把cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$代入，能求出結(jié)果．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{2{{cos}^3}x+2{{sin}^2}（2π-x）+sin（\frac{π}{2}+x）-3}}{{2+2{{sin}^2}（\frac{π}{2}+x）-sin（\frac{3π}{2}-x）}}$
=$\frac{2co{s}^{3}x+2si{n}^{2}x+cosx-3}{2+2co{s}^{2}x+cosx}$
=$\frac{2co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x+cosx-1}{2+2co{s}^{2}x+cosx}$
=$\frac{（2co{s}^{2}α+1）（cosα-1）}{2+co{s}^{2}α+cosα}$，
∵cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴$f（\frac{π}{3}）$=$\frac{（2×\frac{1}{4}+1）（\frac{1}{2}-1）}{2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}$=$-\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)用．