分析 求得bn=$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$+$\frac{20}{1{6}^{n}+4}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{(1{6}^{n}-1)(1{6}^{n}+4)}$<$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$,將T=b1+b2+…+bn,從第二項(xiàng)開始放縮,運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì),即可得證.
解答 證明:an=4+$\frac{5}{(-4)^{n}-1}$,bn=a2n-a2n-1=4+$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$-(4+$\frac{5}{-{4}^{-1}•1{6}^{n}-1}$)
=$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$+$\frac{20}{1{6}^{n}+4}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{(1{6}^{n}-1)(1{6}^{n}+4)}$
=$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}+3•1{6}^{n}-4}$<$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$,
即有T=b1+b2+…+bn<b1+25($\frac{1}{1{6}^{2}}$+$\frac{1}{1{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n}}$)
=$\frac{4}{3}$+25•$\frac{\frac{1}{1{6}^{2}}(1-\frac{1}{1{6}^{n}})}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{5}{48}$(1-$\frac{1}{1{6}^{n}}$)
=$\frac{69}{48}$-$\frac{5}{48}$•$\frac{1}{1{6}^{n}}$<$\frac{69}{48}$<$\frac{3}{2}$.
則T<$\frac{3}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列不等式的證明,注意運(yùn)用放縮法和不等式的性質(zhì),考查運(yùn)算和推理能力,屬于中檔題.
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