Question

15．設(shè)a_n=4+$\frac{5}{（-4）^{n}-1}$，b_n=a_2n-a_2n-1，T=b₁+b₂+…+b_n，求證：T＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求得b_n=$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$+$\frac{20}{1{6}^{n}+4}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}-1）（1{6}^{n}+4）}$＜$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$，將T=b₁+b₂+…+b_n，從第二項開始放縮，運用等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：a_n=4+$\frac{5}{（-4）^{n}-1}$，b_n=a_2n-a_2n-1=4+$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$-（4+$\frac{5}{-{4}^{-1}•1{6}^{n}-1}$）
=$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$+$\frac{20}{1{6}^{n}+4}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}-1）（1{6}^{n}+4）}$
=$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}+3•1{6}^{n}-4}$＜$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$，
即有T=b₁+b₂+…+b_n＜b₁+25（$\frac{1}{1{6}^{2}}$+$\frac{1}{1{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n}}$）
=$\frac{4}{3}$+25•$\frac{\frac{1}{1{6}^{2}}（1-\frac{1}{1{6}^{n}}）}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{5}{48}$（1-$\frac{1}{1{6}^{n}}$）
=$\frac{69}{48}$-$\frac{5}{48}$•$\frac{1}{1{6}^{n}}$＜$\frac{69}{48}$＜$\frac{3}{2}$．
則T＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列不等式的證明，注意運用放縮法和不等式的性質(zhì)，考查運算和推理能力，屬于中檔題．