Question

13．已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），其圖象與直線y=-1相鄰兩個交點的距離為π．若f（x）＞1對任意x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）恒成立，則φ的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• C． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]
• D． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]

Answer 1

分析 由題意求得sin（ωx+φ）=-1，函數y=sin（ωx+φ）的圖象和直線y=-1鄰兩個交點的距離為π，根據周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根據當x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有-$\frac{π}{6}$+φ≥2kπ，且 $\frac{2π}{3}$+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的圖象與直線y=-1相鄰兩個交點的距離為π，
令2sin（ωx+φ）+1=-1，即sin（ωx+φ）=-1，
即 函數y=sin（ωx+φ）的圖象和直線y=-1鄰兩個交點的距離為π，
故 T=$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．
由題意可得，當x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，
故有-$\frac{π}{6}$+φ≥2kπ，且 $\frac{2π}{3}$+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+$\frac{π}{6}$，且φ≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故φ的取值范圍是[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
結合所給的選項，
故選：B．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性，正弦函數的圖象特征，解三角不等式，屬于基礎題．