Question

1．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（3，1），其左、右焦點分別為F₁、F₂，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=-6，則橢圓E的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 設F₁（c，0），F(xiàn)₂（-c，0），則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（3-c，1），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（3+c，1），利用$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=-6，求出c，根據(jù)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（3，1），可得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，求出a²=18，b²=2，即可求出橢圓E的離心率．

解答 解：設F₁（c，0），F(xiàn)₂（-c，0），則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（3-c，1），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（3+c，1），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=9-c²+1=-6，
∴c=4，
∴a²-b²=16，
∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（3，1），
∴$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
∴a²=18，b²=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的方程與性質，考查學生分析問題的能力，求出a，b，即可求出橢圓E的離心率．