已知正項數(shù)列{an},其前n項和Sn滿足10Sn=
a
2
n
+5an+6,且a3<13.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式
(2)令bn=
1
2an+3+1
,求證:b1+b2+…+bn
1
31
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由10Sn=
a
2
n
+5an+6,利用遞推式可得an-an-1=5,當(dāng)n=1時,10a1=
a
2
1
+5a1+6
,解得a1=2或3,通過驗證可得a1=2,利用等差數(shù)列的通項公式可得an
(2)由bn=
1
25n+1
=
1
32n+1
1
32n
.再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可證明.
解答: (1)解:∵10Sn=
a
2
n
+5an+6,∴當(dāng)n≥2時,10Sn-1=
a
2
n-1
+5an-1+6,∴10an=
a
2
n
+5an-
a
2
n-1
-5an-1
,
化為(an+an-1)(an-an-1-5)=0,∴an-an-1=5,
當(dāng)n=1時,10a1=
a
2
1
+5a1+6
,解得a1=2或3,
若a1=3,則a2=8,a3=13,不滿足a3<13,舍去.
若a1=2,則a2=7,a3=12,滿足a3<13.
∴a1=2.
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項為2,公差為5,
∴an=2+5(n-1)=5n-3.
(2)證明:bn=
1
2an+3+1
=
1
25n+1
=
1
32n+1
1
32n

∴b1+b2+…+bn
1
32
+
1
322
+…+
1
32n
=
1
32
(1-
1
32n
)
1-
1
32
=
1
31
(1-
1
32n
)
1
31
點評:本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、遞推式的應(yīng)用,考查了變形能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)y=
sinx
sinx+cosx
的導(dǎo)數(shù).

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由于我市去年冬天多次出現(xiàn)重度污染天氣,市政府決定從今年3月份開始進(jìn)行汽車尾氣的整治,為降低汽車尾氣的排放量,我市某廠生產(chǎn)了甲、乙兩種不同型號的節(jié)排器,分別從兩種節(jié)排器中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評估檢測,綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示.
節(jié)排器等級如表格所示
綜合得分K的范圍節(jié)排器等級
K≥85一級品
75≤k<85二級品
70≤k<75三級品
若把頻率分布直方圖中的頻率視為概率,則
(1)如果從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方法抽取10件,然后從這10件中隨機(jī)抽取3件,求至少有2件一級品的概率;
(2)如果從乙型號的節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件,求其二級品數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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已知過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+
15
4
x-9都切于點M,求切點M的坐標(biāo)和a的值.

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一條漁船距對岸4km,以2km/h的速度向垂直于對岸的方向花去,到達(dá)對岸時船的實際航程為8km,求河水的流速.

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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),A,B分別是橢圓的長軸和短軸的端點,且原點到直線AB的距離為
2
5
5
b.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)直線l與圓O:x2+y2=b2相切,并且被橢圓C截得的弦長的最大值為2,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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一個圓錐被過頂點的平面截去了較小的一部分幾何體,余下的幾何體的三視圖如圖,則該圓錐的體積為( 。
A、
4
3
π
B、2π
C、
8
3
π
D、
10
3
π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

寫出下面數(shù)列{an}的一個通項公式,使它們的前4項分別是下列各數(shù).
(1)3,5,7,9;an=
 
;
(2)1,2,4,8;an=
 
;
(3)1,-1,1,-1;an=
 

(4)1,-
1
4
,
1
9
,-
1
16
;an=
 

(5)2,0,2,0;an=
 

(6)1,0,1,0;an=
 

(7)9,99,999,9999;an=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列各區(qū)間為函數(shù)y=sinx的增區(qū)間的是( 。
A、(-
π
2
,
π
2
B、(0,π)
C、(
π
2
,
2
D、(π,2π)

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