Question

15．函數(shù)f（x）=lg[-x²+（3a+2）x-3a-1]的定義域為集合A．
（1）設函數(shù)y=x²-2x+3（0≤x≤3）的值域為集合B，若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設集合B={x|（x-2a）（x-a²-1）＜0}，是否存在實數(shù)a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A，B，利用A∩B=B，可得B⊆A，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對a進行分類討論后，再由A=B我們易構造出一個關于a的不等式組，解不等式組，即可得到結論．

解答 解：（1）A={x|（x-1）（x-3a-1）＜0}，B=[2，6]，
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴3a-1＞6，
∴a＞$\frac{7}{3}$；
（2）由于2a≤a²+1，當2a=a²+1時，即a=1時，函數(shù)無意義，
∴a≠1，B={x|2a＜x＜a²+1}．…
①當3a+1＜1，即a＜0時，A={x|3a+1＜x＜1}，要使A=B成立，則$\left\{\begin{array}{l}{2a=3a+1}\\{{a}^{2}+1=1}\end{array}\right.$，無解；
②當3a+1=1，即a=0時，A=∅，使A=B成立，則2a＞a²+1，無解；
③當3a+1=1，即a＞0時，A={x|2＜x＜3a+1}，要使A=B成立，則$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{{a}^{2}+1=3a+1}\end{array}\right.$，無解
綜上，不存在a，使得A=B．

點評 本題考查集合的關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．