Question

15．參考如下定義及定理，解答問題．
定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點叫做整點，頂點為整點的三角形叫做整點三角形．
定理：設(shè)整點三角形內(nèi)部的整點數(shù)為N，邊上（包括頂點）的整點數(shù)為L，則三角形的面積為S=N+$\frac{L}{2}$-1．
問題：求滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{x+y≤30}\end{array}\right.$的整點的個數(shù)．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出三角形的面積以及在三角形邊上的整數(shù)點的個數(shù)，結(jié)合定理求出三角形內(nèi)部的整數(shù)點的公式即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=30}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=20}\end{array}\right.$，即A（10，20），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x+y=30}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=10}\end{array}\right.$，即B（20，10）．
則當(dāng)y=10時，由y=2x得x=5，即C（5，10），
則S_△OAB=S_△ABC+S_△OBC=$\frac{1}{2}×$15×10+$\frac{1}{2}×$15×10=150，
當(dāng)0≤x≤10時，y=2x上有11個整數(shù)點，
當(dāng)1≤x≤20時，y=$\frac{1}{2}$x上有20個整數(shù)點，
當(dāng)11≤x≤19時，x+y=30上有9個整數(shù)點，
則設(shè)整點三角形內(nèi)部的整點數(shù)為N，邊上（包括頂點）的整點數(shù)為L，
則L=11+20+9=40，
由三角形的面積為S=N+$\frac{L}{2}$-1．得N=S+1-$\frac{L}{2}$=150+1-20=129，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{x+y≤30}\end{array}\right.$的整點的個數(shù)為129+40=169個．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域結(jié)合定義和定理的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．