Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，D在線段AC上，且AC=$\sqrt{2}$AD，BD=1．
（Ⅰ）若A=$\frac{π}{2}$，求sin∠DBC的值；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出AD，利用勾股定理求得AD，進(jìn)而求得sin∠ABD和cos∠ABD，利用sin∠DBC=sin（$\frac{π}{4}$-∠ABD）求得sin∠DBC的值．
（Ⅱ）設(shè)出AD，利用余弦定理表示出cos∠BAD，進(jìn)而表示出sin∠BAC，最后利用三角形面積公式表示出三角形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)AD=x，AB=$\sqrt{2}$x，
∵x²+2x²=1，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos∠ABD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
sin∠DBC=sin（$\frac{π}{4}$-∠ABD）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$．
（Ⅱ）設(shè)AD=x，AB=$\sqrt{2}$x，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD=$\frac{{x}^{2}+2{x}^{2}-1}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$=$\frac{3{x}^{2}-1}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$，
sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-3）^{2}+8}}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2x²•$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-3）^{2}+8}}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-3）^{2}+8}}{2\sqrt{2}}$，
當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，三角形面積有最大值1．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和公式的運(yùn)用，余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．