Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）．
（1）當(dāng)ω=1，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)ω=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）把ω=1代入函數(shù)解析式，由x的范圍求出相位的范圍，則函數(shù)值域可求；
（2）把ω=-1代入函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式變形，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）當(dāng)ω=1時，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
由x∈（0，$\frac{π}{2}$），得2x+$\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$），
∴sin（$2x+\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]，則$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]．
∴函數(shù)f（x）的值域為（-1，$\sqrt{2}$]；
（2）當(dāng)ω=-1時，f（x）=$\sqrt{2}$sin（-2x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．