Question

16．已知首項大于0的等差數(shù)列{a_n}的公差d=2，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項為1，再由等差數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）求得b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求．

解答 解：（1）依題意，由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$，d=2，
可得$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+2）（{a}_{1}+4）}$=$\frac{2}{5}$，
解得a₁=1（-5舍去），
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，
前n項和T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
可得T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用和求法，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．