Question

已知f（x）是定義域在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，?x₁≥0，x₂≥0，若x₁≠x₂，則

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，如果f（

1

3

）=

3

4

，若f（log 

1

8

x）＞3，那么x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）為減函數(shù)，在（-∞，0]為增函數(shù)，結(jié)合f(

1

3

)=

3

4

，則f(-

1

3

)=

3

4

，進(jìn)而可將原不等式轉(zhuǎn)化為-

1

3

＜log 

1

8

x＜

1

3

，解對(duì)數(shù)不等式可得答案．

解答： 解：由x₁≥0，x₂≥0，若x₁≠x₂，則

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）為減函數(shù)，
由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，
可得函數(shù)f（x）在（-∞，0]為增函數(shù)，
由f(

1

3

)=

3

4

，則f(-

1

3

)=

3

4

故不等式4f（log 

1

8

x）＞3，可化為：
f（log 

1

8

x）＞

3

4

，即-

1

3

＜log 

1

8

x＜

1

3

，
即log 

1

8

2＜log 

1

8

x＜log 

1

8

1

2

，
即x∈（

1

2

，2），
故答案為：（

1

2

，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．