Question

9．若函數(shù)f（x）=x³-2ax²+a在（a-1，a+$\frac{1}{2}$）上有最大值，則正數(shù)a的取值范圍為 （　　）

• A． （0，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 由給出的是開(kāi)區(qū)間，且給的函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，可得最大值一定是在該極大值點(diǎn)處取得，因此對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)、求極大值點(diǎn)，然后讓極大值點(diǎn)落在區(qū)間（a-1，a+$\frac{1}{2}$）內(nèi)，由此構(gòu)造不等式組求解．

解答 解：f′（x）=x（3x-4a），（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{4a}{3}$或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{4a}{3}$，
故f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，$\frac{4a}{3}$）遞減，在（$\frac{4a}{3}$，+∞）遞增，
要使函數(shù)f（x）在（a-1，a+$\frac{1}{2}$）上有最大值，
只需a-1＜0＜a+$\frac{1}{2}$且a＞0，解得：0＜a＜1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．