Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{x}^{2}}{x+1}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的值域，根據(jù)若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立得到，f（x）的值域和g（x）的值域交集不是空集即可得到結(jié)論．

解答 解：當$\frac{1}{2}$＜x≤1時，f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{4x（x+1）-2{x}^{2}}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}+4x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2（x+1）^{2}-2}{（x+1）^{2}}$＞0，
則此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則f（$\frac{1}{2}$）＜f（x）≤f（1），即$\frac{1}{3}$＜f（x）≤1，
當0≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{6}$為減函數(shù)，
則0≤f（x）≤$\frac{1}{6}$，
即函數(shù)f（x）的值域為[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]
函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-2a+2（a＞0），在[0，1]上為增函數(shù)，
則g（0）≤g（x）≤g（1），
即2-2a≤g（x）≤2-$\frac{3}{2}$a，
即g（x）的值域為[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]∩（[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]）≠∅，
若[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]∩（[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]）=∅，
則2-$\frac{3}{2}$a＜0或$\left\{\begin{array}{l}{2-2a＞\frac{1}{6}}\\{2-\frac{3a}{2}≤\frac{1}{3}}\end{array}\right.$或2-2a＞1，
即a＞$\frac{4}{3}$或a無解或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
即若[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]∩（[0，$\frac{1}{6}$]∪（$\frac{1}{3}$，1]）≠∅，
則$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域問題，不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過看兩函數(shù)值域之間的關(guān)系來確定a的范圍．綜合性較強，難度較大．