Question

18．已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，a₁=1，則a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得（n+1）a_n+1=$\frac{1}{4}$[（2n+1）a_n+2+1]-$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，從而可判斷數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1=$\frac{1}{4}$[（2n+1）a_n+2+1]，
兩式作差可得，
（n+1）a_n+1=$\frac{1}{4}$[（2n+1）a_n+2+1]-$\frac{1}{4}$[（2n-1）a_n+1+1]，
化簡(jiǎn)可得，a_n+2=3a_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{4}$（a₂+1），解得，a₂=3；
故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故a_n=1•3^n-1=3^n-1，
故答案為：3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用．