Question

5．給出下列命題，其中正確的命題個數(shù)是（　�。�
①已知a＞0，b＞0，則$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$；
②已知a＞0，b＞0，c＞0，則a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$$+\sqrt{ac}$；
③已知x＞0，則函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-x+1}$的最大值為2；
④若x＞0，則ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用基本不等式及不等式的基本性質(zhì)，可判斷①，②，③，利用導(dǎo)數(shù)法，可判斷④．

解答 解：①∵a＞0，b＞0，
∴2$\sqrt{ab}$≤a+b，
又∵$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$＞0，
∴2$\sqrt{ab}$（$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$）≤（a+b）（$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$），
即$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{ab}$=$\sqrt{\frac{2ab}{2}}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，
∴$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，故正確；
②已知a＞0，b＞0，c＞0，則$（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}+（\sqrt{a}-\sqrt{c}）^{2}+（\sqrt-\sqrt{c}）^{2}$≥0，
即a+b-2$\sqrt{ab}$+b+c-$\sqrt{bc}$+a+c-2$\sqrt{ac}$≥0，
即2（a+b+c）≥2（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$$+\sqrt{ac}$），即a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$$+\sqrt{ac}$，故正確；
③已知x＞0，則函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-x+1}$=1+$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$=1+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$≤1+1=2，即函數(shù)的最大值為2，故正確；
④令f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，則f′（x）=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0恒成立，即此時函數(shù)為增函數(shù)，
故f（x）＞f（0）=0恒成立，即x＞0時，ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，故正確．
故正確的命題有4個；
故選：D．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了基本不等式及不等式的基本性質(zhì)，作差法證明不等式，難度中檔．