【題目】已知動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)Q為曲線C上的一個不在軸上的動點,O為坐標原點,過點作OQ的平行線交曲線C于M,N兩個不同的點, 求△QMN面積的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:(1)由已知條件推導出|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6,從而得到圓心P的軌跡為以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,由此能求出圓心P的軌跡C的方程;(2)由MN∥OQ,知△QMN的面積=△OMN的面積,聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程,根據(jù)韋達定理和弦長公式得到△的面積,由此能求出△QMN的面積的最大值.
解析:(Ⅰ)設(shè)圓的半徑為, 圓心的坐標為,
由于動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,
所以動圓與圓只能內(nèi)切.
所以
則.
所以圓心的軌跡是以點為焦點的橢圓,
且, 則.
所以曲線的方程為.
(Ⅱ)設(shè),直線的方程為,
由 可得,
則.
所以
因為,所以△的面積等于△的面積.
點到直線的距離.
所以△的面積.
令,則 ,.
設(shè),則.
因為, 所以
所以在上單調(diào)遞增.
所以當時, 取得最小值, 其值為.
所以△的面積的最大值為.
說明: △的面積.
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【題目】在直角坐標系中,點的坐標為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以軸的非負半軸為極軸,選擇相同的單位長度建立極坐標系,圓極坐標方程為.
(Ⅰ)當時,求直線的普通方程和圓的直角坐標方程;
(Ⅱ)直線與圓的交點為、,證明:是與無關(guān)的定值.
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【題目】四棱錐中,平面ABCD,,,BC//AD,已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點,且二面角的平面角大小為,若動點Q的軌跡將ABCD分成面積為的兩部分,則=_______.
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【題目】已知橢圓: 的左焦點為,上頂點為,長軸長為,為直線:上的動點,,.當時,與重合.
(1)若橢圓的方程;
(2)若直線交橢圓于,兩點,若,求的值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線在平面直角坐標系下的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線的普通方程及極坐標方程;
(2)直線的極坐標方程是,射線: 與曲線交于點與直線交于點,求線段的長.
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【題目】如圖,直三棱柱中,且,是棱上的動點,是的中點.
(1)當是中點時,求證:平面;
(2)在棱上是否存在點,使得平面與平面所成銳二面角為,若存在,求的長,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)).
(1)求函數(shù)在的最小值;
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個零點,且,證明:.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸非負半軸為極軸)中,直線的方程為.
(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程;
(2)設(shè)是曲線上的任意一點,求點到直線的距離的最大值.
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