Question

12．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$$+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦點(diǎn)且傾角為45°的弦AB的長為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． $\frac{90}{17}$
• D． 7

Answer 1

分析 由題意作圖輔助，從而可得點(diǎn)F（4，0），AB的方程為y=x-4；聯(lián)立方程化簡可得34x²-200x+175=0；再利用根與系數(shù)的關(guān)系及橢圓的第二定義求解即可．

解答 解：作圖如右圖，由題意知，
a=5，b=3，c=4；
故點(diǎn)F（4，0），AB的方程為y=x-4；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{y=x-4}\end{array}\right.$聯(lián)立消y化簡可得，
34x²-200x+175=0；
故x₁+x₂=$\frac{200}{34}$=$\frac{100}{17}$；
則弦AB的長|AB|=|AF|+|BF|
=$\frac{c}{a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x₁）+$\frac{c}{a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x₂）
=$\frac{4}{5}$（$\frac{25}{4}$×2-$\frac{100}{17}$）
=$\frac{90}{17}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了橢圓的第二定義及根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．