Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{5}{2}{x^2}$+ax+b，g（x）=x³+$\frac{7}{2}{x^2}$+lnx+b，（a，b為常數(shù)）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1處的切線過點（0，-5），求b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若關(guān)于x的方程f（x）-x=xf′（x）有唯一解，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+ln2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求b的值；
（Ⅱ）求出方程f（x）-x=xf′（x）的表達(dá)式，利用參數(shù)分離法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可，

解答 解：（Ⅰ）設(shè)g（x）在x=1處的切線方程為y=kx-5，
因為$g'（x）=3{x^2}+7x+\frac{1}{x}\;，\;g'（1）=11$，
所以k=11，故切線方程為y=11x-5．
當(dāng)x=1時，y=6，將（1，6）代入$g（x）={x^3}+\frac{7}{2}{x^2}+lnx+b$，
得$b=\frac{3}{2}$． …（3分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+5x+a，
由題意得方程${x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+ax+b=3{x^3}+5{x^2}+ax+x$有唯一解，
即方程$2{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+x=b$有唯一解．
令$h（x）=2{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+x$，則h'（x）=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1），
所以h（x）在區(qū)間$（-∞，-\frac{1}{2}），（-\frac{1}{3}，+∞）$上是增函數(shù)，在區(qū)間$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$上是減函數(shù)．
又$h（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{8}，h（-\frac{1}{3}）=-\frac{7}{54}$，
故實數(shù)b的取值范圍是$（-∞，-\frac{7}{54}）∪（-\frac{1}{8}，+∞）$． …（8分）
（Ⅲ）F（x）=ax-x²-lnx，
所以$F'（x）=-\frac{{2{x^2}-ax+1}}{x}$．
因為F（x）存在極值，所以$F'（x）=-\frac{{2{x^2}-ax+1}}{x}=0$在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，則有△=a²-8≥0．
顯然當(dāng)△=0時，F(xiàn)（x）無極值，不合題意；
所以方程必有兩個不等正根．
記方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂，則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}{x_2}=\frac{1}{2}＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{a}{2}\end{array}\right.$
$F（{x_1}）+F（{x_2}）=a（{x_1}+{x_2}）-（{x_1}^2+{x_2}^2）-（ln{x_1}+ln{x_2}）$=$\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}+1-ln\frac{1}{2}$＞$5-ln\frac{1}{2}$，
解得a²＞16，滿足△＞0．
又${x_1}+{x_2}=\frac{a}{2}＞0$，即a＞0，
故所求a的取值范圍是（4，+∞）．  …（14分）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性，極值和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．