Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（其中b，c為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值為5，最小值為-1，求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在這樣的函數(shù)y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]，若存在，求出函數(shù)y=f（x）的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅲ）記集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
①若A≠∅，求證：B≠∅；
②若A=∅，判斷B是否也為空集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的對(duì)稱軸小于-1，得到關(guān)于b，c的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的對(duì)稱軸，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置，結(jié)合函數(shù)的值域求出b，c的值，從而求出f（x）的表達(dá)式即可；
（Ⅲ）通過(guò)整理方程得到x²+（b-1）x+c=0或x²+（b+1）x+b+c+1=0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由條件知f（x）=x²+bx+c的最大值為5，最小值為-1
而b＞2，則對(duì)稱軸$x=-\frac{2}＜-1$，
則$\left\{\begin{array}{l}f（{-1}）=-1\\ f（1）=5\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=-1\\ b+c+1=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ b=3\end{array}\right.$
則f（x）=x²+3x+1．--------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）f（x）=x²+bx+c，-1≤x≤0，對(duì)稱軸x=-$\frac{2}$，
若b≥2，則$x=-\frac{2}≤-1$，則$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=-1\\ c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=2\end{array}\right.$，此時(shí)f（x）=x²+2x，
若b≤0，則$x=-\frac{2}≥0$，則$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=0\\ c=-1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ b=0\end{array}\right.$，此時(shí)f（x）=x²-1，
若0＜b≤1，則$x=-\frac{2}∈[{-\frac{1}{2}，0}）$，則$\left\{\begin{array}{l}c-b+1=0\\ c-\frac{b^2}{4}=-1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ b=0\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ b=4\end{array}\right.$（舍），
此時(shí)不存在函數(shù)f（x），若1＜b＜2，則$x=-\frac{2}∈（{-1，-\frac{1}{2}}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ c-\frac{b^2}{4}=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=2\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=-2\end{array}\right.$（舍），此時(shí)不存在函數(shù)f（x），
綜上所述存在函數(shù)f（x）=x²-1和f（x）=x²+2x滿足條件-----------------------------（8分）
（Ⅲ）由f（x）=x²+bx+c得f（f（x））=f²（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x²-bx，
由f（f（x））=x得到f²（x）+bf（x）+c=x，即f²（x）+bf（x）+f（x）-x²-bx=x，
整理得到f²（x）-x²+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，
即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x²+（b-1）x+c=0②或x²+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判別式△=（b-1）²-4c
方程③的判別式${△_1}={（{b+1}）^2}-4b-4c-4={（{b-1}）^2}-4c-4=△-4$，
①若A≠ϕ，即f（x）-x=0有解，即x²+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，則①有解，
即B≠ϕ，
②若A=ϕ，即△＜0，則△₁＜0，②和③均無(wú)解，則①無(wú)解，即B=ϕ．----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、值域問(wèn)題，考查求函數(shù)的解析式，以及集合問(wèn)題，是一道綜合題．