Question

16．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是線段AA₁的中點(diǎn)，M是平面BB₁D₁D內(nèi)的點(diǎn)，則|AM|+|ME|的最小值是$\frac{3}{2}$；若|ME|≤1，則點(diǎn)M在平面BB₁D₁D內(nèi)形成的軌跡的面積等于$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由圖形可知AC⊥平面BB₁D₁D，且A到平面BB₁D₁D的距離與C到平面BB₁D₁D的距離相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；
（2）設(shè)點(diǎn)E在平面BB₁D₁D的射影為O，則EO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令ME=1，則△EMO是直角三角形，所以點(diǎn)M在平面BB₁D₁D上的軌跡為圓，有勾股定理求得OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即點(diǎn)M的軌跡半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入圓面積公式即可求得面積．

解答 解：連接AC交BD于N，連接MN，MC，
則AC⊥BD，
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∴AC⊥MN，
∴△AMN≌△CMN，
∴MA=MC，
連接EC，
∴線段EC的長(zhǎng)就是|AM|+|ME|的最小值．
在Rt△EAC中，AC=$\sqrt{2}$，EA=$\frac{1}{2}$，∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}+E{A}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
過(guò)E作平面BB₁D₁D的垂線，垂足為O，則EO=AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令EM=1，則M的軌跡是以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑的圓，
∴OM=$\sqrt{E{M}^{2}-E{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=π•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{π}{2}$．
故答案為$\frac{3}{2}$，$\frac{π}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何中的最值問(wèn)題，找到MA與MC的相等關(guān)系是本題的關(guān)鍵．