Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
（1）利用函數(shù)單調性定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$在[-3，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁＜x₂≤0，然后作差，通分，分解因式，從而證明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)；
（2）容易看出f（x）為偶函數(shù)，從而由（1）可以得到f（x）在（0，+∞）上單調遞減，從而x=0時f（x）取最大值，再比較f（-3），f（2）便可得出f（x）的最小值，從而得出該函數(shù)在[-3，2]上的值域．

解答 解：（1）證明：設x₁＜x₂≤0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{1}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
∵x₁＜x₂≤0；
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0；
又$1+{{x}_{1}}^{2}＞0，1+{{x}_{2}}^{2}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)；
（2）由f（x）是偶函數(shù)得，f（x）在（-∞，0]上增，在（0，+∞）上減；
∴f_max（x）=f（0）=1，f（-3）=$\frac{1}{10}$，f（2）=$\frac{1}{5}$；
∴∴${f}_{min}（x）=\frac{1}{10}$；
∴f（x）的值域為$[\frac{1}{10}，1]$．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性，根據(jù)單調性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值從而求出函數(shù)值域的方法．