Question

14．已知|z₁|=1，z₂∈Z，求證|$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{1-\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}}$|=1．

Answer 1

分析 利用分析法直接證明所證明的等式．

解答 證明：要證明|$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{1-\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}}$|=1．即證明$|{z}_{1}-{z}_{2}|=|1-\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}|$，即證明${（{|z}_{1}-{z}_{2}|）}^{2}={（\right|1-\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}\left|）}^{2}$，可得$|{z}_{1}{|}^{2}-2|{z}_{1}\left|\right|{z}_{2}|+|{z}_{2}{|}^{2}=1-2\left|{z}_{2}\right|\left|\overline{{z}_{1}}\right|+\left|\overline{{z}_{1}}{|}^{2}\right|{z}_{2}{|}^{2}$，$-2|{z}_{1}\left|\right|{z}_{2}|+|{z}_{2}{|}^{2}=-2\left|{z}_{2}\right|\left|\overline{{z}_{1}}\right|+\left|\overline{{z}_{1}}{|}^{2}\right|{z}_{2}{|}^{2}$，
設(shè)z₁=a+bi，|z₁|=1，即證：$2|{z}_{1}\left|\right|{z}_{2}|=2|{z}_{2}\left|\right|\overline{{z}_{1}}|$，∵$|{z}_{1}|=|\overline{{z}_{1}}|$，
∴原式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的模，分析法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．