Question

19．定義函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{7π}{2}，x＞0}\\{2tan\frac{25π}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，設f（x）=[g（2-x）•f₁（x）]•[g（x-3）•f₂（x）]，x∈[0，2]，其中f₁（x）=x+m，f₂（x）=1-x，若f（x）-20≤g（x）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為[-$\frac{9}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 化簡g（x），由x的范圍，得到2-x，x-3的范圍，化簡f（x），再令h（x）=4x²+4（m-1）x-4m-20，若f（x）-20≤g（x）恒成立，則h（x）_max≤-2在[0，2]恒成立．討論二函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用單調(diào)性得到最大值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x＞0}\\{2，x＜0}\end{array}\right.$，由x∈[0，2]，
則-2≤-x≤0，0≤2-x≤2≤g（2-x）=-2，
同理-3≤x-3≤-1，g（x-3）=2，
則f（x）=[g（2-x）•f₁（x）]•[g（x-3）•f₂（x）]
=（-2）（x+m）•2（1-x）=4（x-1）（x+m）=4x²+4（m-1）x-4m，
令h（x）=4x²+4（m-1）x-4m-20，
若f（x）-20≤g（x）恒成立，則h（x）_max≤-2在[0，2]恒成立．
h（x）的對稱軸x=$\frac{1-m}{2}$，
（1）若$\frac{1-m}{2}$≤0即m≥1，h（x）在[0，2]遞增，h（x）_max=h（2）=4m-12≤-2，即m≤$\frac{5}{2}$，則1≤m≤$\frac{5}{2}$；
（2）若0＜$\frac{1-m}{2}$＜2，即-3＜m＜1，
①若$\frac{1-m}{2}$-0＜2-$\frac{1-m}{2}$，即m＞-1，則h（x）_max=h（2）=4m-12≤-2，即m≤$\frac{5}{2}$，故m∈（-1，1）；
②若$\frac{1-m}{2}$-0＞2-$\frac{1-m}{2}$，即m＜-1，則h（x）_max=h（0）=-4m-20≤-2，即m≥-$\frac{9}{2}$，故m∈[-$\frac{9}{2}$，-1）；
③$\frac{1-m}{2}$-0=2-$\frac{1-m}{2}$，即m=-1，則h（x）_max=h（0）=h（2）=4m-12=-4m-20，解得m=-1，即-16≤-2，故m=-1．
（3）若$\frac{1-m}{2}$≥2，解得m≤-3，h（x）在[0，2]遞減，則h（x）_max=h（0）=-4m-20≤-2，解得m$≥-\frac{9}{2}$，
此時m∈[-$\frac{9}{2}$，-3]．
綜上可得，m的取值范圍是[-$\frac{9}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{9}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．