Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

2

，兩焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓C于M，N兩點，且△F₂MN的周長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于A，B兩點，求弦長|AB|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用已知條件求出橢圓方程中的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）利用直線的斜率存在與不存在，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，以及弦長公式表示弦長|AB|通過基本不等式求解弦長的最大值．

解答： 解：（1）由題得：

c

a

=

3

2

，4a=8，所以a=2，c=

3

．    …（3分）
又b²=a²-c²，所以b=1即橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由題意知，|m|≥1．
當(dāng)m=1時，切線l的方程x=1，點A、B的坐標(biāo)分別為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，
此時|AB|=

3

； 當(dāng)m=-1時，同理可得|AB|=

3

…（5分）
當(dāng)|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），（k≠0）
由

y=k(x-m) x 2   4 + y 2   =1.

得(1+4

k

2

)

x

2

-8k2mx+4k2m2-4=0
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則△=64k⁴m²-16（1+4k²）（4k²m²-4）=48k²＞0x1+x2=

8 k 2   m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

又由l與圓

x

2

+

y

2

=1相切，得

|km|

k 2   +1

=1，即m2k2=k2+1．得k2=

1

m2-1

所以|AB|=

(x2-x1 ) 2   +(y2-y1 ) 2

=

(1+ k 2   )[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 3 |m|

m 2   +3

…（9分）
因為|m|≥1所以|AB|=

4 3 |m|

m 2   +3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，
且當(dāng)m=±

3

時，|AB|=2，
由于當(dāng)m=±1時，|AB|=

3

，所以|AB|的最大值為2．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．