Question

20．正方形ABCD所在的平面與三角形ABE所在的平面交于AB，且DE⊥平面ABE，ED=AE=1．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求平面CEB與平面ADE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DE⊥AB，AD⊥AB，從而AB⊥平面ADE，由此能證明平面ABCD⊥平面ADE．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AE為y軸，以過A點(diǎn)垂直平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面CEB與平面ADE成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵DE⊥平面ABE，AB?平面ABE，∴DE⊥AB，
又四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，
∵DE與AD相交，∴AB⊥平面ADE，
∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
解：（2）由（1）知AB⊥AE，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AE為y軸，
以過A點(diǎn)垂直平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ED=AE=1，∴AD=$\sqrt{2}$，E（0，1，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，1，1），
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，1，1），$\overrightarrow{EC}$=（$\sqrt{2}，0，1$），$\overrightarrow{EB}$=（$\sqrt{2}，-1，0$），
設(shè)面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-y=0}\\{\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}，2，-2$），
面ADE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}×1}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴平面CEB與平面ADE成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．