已知拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點F作直線交拋物線C于A，B兩點．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點，求|MN|的最小值．


解　(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，所以拋物線C的方程為x2＝4y.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.

由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.從而|x1－x2|＝4.

又y＝x，且y＝x－2，

解得點M的橫坐標(biāo)xM＝

同理點N的橫坐標(biāo)xN＝.

所以|MN|＝|xM－xN|＝

＝8

令4k－3＝t，t≠0，則k＝.

當(dāng)t>0時，|MN|＝2>2.

當(dāng)t<0時，|MN|＝2≥ .

綜上所述，當(dāng)t＝－，即k＝－時，

|MN|的最小值是 .


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．

(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；

(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．

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已知點A(2,0)，B(－2,0)，P是平面內(nèi)一動點，直線PA，PB斜率之積為－.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點作直線l，與軌跡C交于E，F兩點，線段EF的中點為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

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已知雙曲線x2－＝1的焦點為F1，F2，點M在雙曲線上且＝0，則M到x軸的距離為________．

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q.

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與垂直？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝x無交點，則離心率e的取值范圍是(　　)．

A．(1,2)  B．(1,2] 

C．(1，)  D．(1，]

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橢圓＋＝1(a＞b＞0)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為原點)．

(1)求證：＋等于定值；

(2)若橢圓的離心率e∈，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù),在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù),且,若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為

A.   B.   C.    D.

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規(guī)定記號“”表示一種運(yùn)算，即ab＝ab＋a＋b2 (a，b為正實數(shù))，若1k＝3，則k＝(　　)

A．－2        B．1        C．－2 或1         D．2

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