Question

4．已知函數(shù)f（x）=mlnx（m∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）+x的最小值為0，求m的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x，試求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）試給出一個實數(shù)m的值，使得函數(shù)y=f（x）與h（x）=$\frac{x-1}{2x}$（x＞0）的圖象有且只有一條公切線，并說明此時兩函數(shù)圖象有且只有一條公切線的理由．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)整理為y=mlnx+x，求導(dǎo)，由題意可知，函數(shù)的最小值應(yīng)在極值點處取得，令f′（x）=0，代入求解即可；
（2）函數(shù)整理為g（x）=mlnx+mx²+（m²+2）x，求導(dǎo)得g′（x），對參數(shù)m進行分類討論，逐一求出單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)間的關(guān)系，得到函數(shù)ω（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，通過討論函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）y=f（x）+x=mlnx+x，（x＞0），
y′=$\frac{m}{x}$+1，
m≥0時，y′＞0，函數(shù)在（0，+∞）遞增，無最小值，
m＜0時，y′=$\frac{m+x}{x}$，令y′＞0，解得：x＞-m，令y′＜0，解得：0＜x＜-m，
∴函數(shù)y=f（x）+x在（0，-m）遞減，在（-m，+∞）遞增，
故函數(shù)在x=-m處取得最小值，
∴mln（-m）-m=0，解得：m=-e；
（2）g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x
=mlnx+mx²+（m²+2）x，
∴g′（x）=$\frac{（mx+1）（2x+m）}{x}$，
當(dāng)m=0時，g（x）=2x，定義域內(nèi)遞增；
當(dāng)m≠0時，
令g′（x）=0，∴x=-$\frac{1}{m}$或x=-$\frac{m}{2}$，
當(dāng)m＞0時，g′（x）＞0，g（x）定義域內(nèi)遞增；
當(dāng)m＜0時，當(dāng)m＞-$\sqrt{2}$時，函數(shù)的增區(qū)間為（0，-$\frac{m}{2}$）u（-$\frac{1}{m}$，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{1}{m}$）；
 當(dāng)m＜-$\sqrt{2}$時，函數(shù)的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{m}$），（-$\frac{m}{2}$，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{1}{m}$，-$\frac{m}{2}$）；
當(dāng)m=-$\sqrt{2}$時，定義域內(nèi)遞增．
（3）m=$\frac{1}{2}$符合題意，理由如下：此時f（x）=$\frac{1}{2}$lnx，
設(shè)函數(shù)f（x）與h（x）上各有一點A（x₁，$\frac{1}{2}$lnx₁），B（x₂，$\frac{{x}_{2}-1}{{2x}_{2}}$），
則f（x）以點A為切點的切線方程為y=$\frac{1}{{2x}_{1}}$x+$\frac{1}{2}$lnx₁-$\frac{1}{2}$，
h（x）以點B為切點的切線方程為y=$\frac{1}{{{2x}_{2}}^{2}}$x+$\frac{{x}_{2}-2}{{2x}_{2}}$，
由兩條切線重合，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2x}_{1}}=\frac{1}{{{2x}_{2}}^{2}}}\\{\frac{1}{2}l{nx}_{1}-\frac{1}{2}=\frac{{x}_{2}-2}{{2x}_{2}}}\end{array}\right.$ （*），
消去x₁，整理得lnx₂=1-$\frac{1}{{x}_{2}}$，即lnx₂-1+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0，
令ω（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，得ω′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以函數(shù)ω（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
又ω（1）=0，所以函數(shù)ω（x）有唯一零點x=1，
從而方程組（*）有唯一解$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，即此時函數(shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一條公切線．
故m=$\frac{1}{2}$符合題意．

點評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題，難點是對導(dǎo)函數(shù)中參數(shù)的討論問題．