Question

15．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，e），其中e為橢圓的離心率，橢圓的上，下頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成正方形．（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓Γ相交于A，B兩點(diǎn)，且l與x軸不垂直，OA，OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形，可得b=c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，將點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程x²+2y²=2，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線的斜率公式可得1+2k²=2t²，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求三角形的面積．

解答 解：（1）橢圓的上，下頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，可得b=c，
a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
將點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l的方程為y=kx+t，
代入橢圓方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
即有△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，即為t²＜1+2k²，
x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又k_OAk_OB=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+t）（k{x}_{2}+t）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=k²+$\frac{kt（{x}_{1}+{x}_{2}）+{t}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²+$\frac{-4{k}^{2}{t}^{2}+{t}^{2}（1+2{k}^{2}）}{2{t}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)可得1+2k²=2t²，
O到AB的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-4kt}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{t}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$|t|•$\sqrt{\frac{8（1+2{k}^{2}-{t}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{2}$|t|•$\frac{|t|}{2{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．